Методические указания по выполнению зачетных работ Расчет переходных режимов в линейных эл.цепях

Министерство образования и науки Челябинской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
(среднее специальное учебное заведение)
«Саткинский политехнический техникум имени А.К. Савина»

Расчет переходных режимов в линейных электрических цепях

Задания и методические указания к выполнению зачетных работ

(Для обучающихся СПТ имени А.К Савина)



Сатка 2011

Методические рекомендации для выполнения зачетной работы по теме «Переходные процессы в линейных электрических цепях». Даются методические указания и приводятся примеры расчета переходных процессов в сложных цепях классическим и операторным методами. Работа рассчитана на 6 часов аудиторных и 6 часов домашних занятий.
Работа предназначена для обучающихся всех форм обучения и может быть использована в курсах «Теоретические основы электротехники», «Общая электротехника» и «Электротехника и электроника».

Методические рекомендации предназначены для обучающихся СПТ имени А.К. Савина.

Разработчик: Андриянов Игорь Александрович, мастер производственного обучения

Рассмотрены и утверждены на заседании методической комиссии профессионального цикла. Рекомендованы для обучающихся СПТ имени А.К. Савина по профессии «Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования».
Протокол заседания методической комиссии профессионального цикла № 4
от « »______2011

Утверждено: Балчугова Н.Н., зам. директора по ТО
Пузрякова Л.В., методист


Задание для зачетной работы
“Расчёт переходных режимов в линейных электрических цепях”

1. УКАЗАНИЯ ПО ВЫБОРУ ВАРИАНТА ЗАДАНИЯ

Электрическая схема и значения её параметров выбираются по номеру варианта задания. Номер варианта соответствует порядковому номеру обучающихся в журнале.
Для обучающихся, номера которых от 1 до 10-го, выбирается схема, соответствующая номеру варианта (рис. 1 – 10).
Для вариантов, больше 11-го, номер схемы (номер рисунка) соответствует второй цифре варианта. При этом варианты 10, 20 и т.д. используют схему №10 (рис. 10).
Параметры схемы (значение R, L, C) и реакция цепи, которую требуется определить, приведены в таблице и соответствуют номеру варианта.

2. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

1) Определить реакцию электрической цепи, если воздействие, задаваемое электродвижущей силой источника напряжения или током источника тока, постоянно и равно:
е(t) = 100 В; I (t) = 1 А.
Расчёт выполнить классическим методом.

2) Определить эту же реакцию при заданном воздействии операторным методом.

3) Построить зависимость искомой реакции от времени на промежутке времени t = (4 – 5) τ.
Если корни характеристического уравнения р1 и р2 действительные и различные, то

где рmin – наименьший из корней р1 и р2.

В случае комплексно сопряжённых корней характеристического уравнения




3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1) Коммутация электрической цепи осуществляется включателем S.

Контакты выключателя

- замыкающие;

- размыкающие.
2) Независимо от того, какую реакцию требуется определить по варианту задания (таблица 1), рекомендуется определить ток в индуктивном элементе или напряжение на емкостном элементе (iL или uC). Искомую реакцию удобно выразить позже, использовав законы Кирхгофа для мгновенных значений цепи после коммутации.

3) При анализе переходного процесса в цепи классическим методом можно использовать следующий порядок расчёта:
- записать полную систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи после коммутации;
- из расчёта установившегося режима цепи до коммутации определить ток в индуктивности (iL (0-)) и напряжение на ёмкости (uC(0-)).
Применив затем законы коммутации, получить начальное значения
uC (0) и iL (0).
- рассчитать установившийся режим цепи после коммутации и написать значение принуждённой (установившейся) составляющей искомой величины;
- составить характеристическое уравнение и определить его корни;
- в зависимости от вида корней характеристического уравнения записать решения для свободных составляющих;
- искомую величину записать в виде принуждённой (установившейся) и свободной составляющей;
- применив законы коммутации при определённых ранее начальных условиях, найти постоянные интегрирования;
- если требуется, выразить реакцию цепи через iL или uC.

4) Характеристическое уравнение можно получить с помощью входного операторного сопротивления z(р). Для этого необходимо:
- изобразить схему цепи после коммутации, исключив из неё источники. Источник напряжения закорачивается, а источник тока исключается из схемы;
- разорвать полученную схему в любом месте и относительно двух точек разрыва выразить эквивалентное сопротивление, как для резистивной цепи. Следует учесть, что при определении операторного сопротивления индуктивность L заменяется сопротивлением рL, а ёмкость С заменяется сопротивлением .

5) выражение для свободных составляющих, например, тока, записывается по разному в зависимости от вида корней характеристического уравнения.
Если корни р1, р2, …рn – действительные и различные, то


Для каждой пары комплексно – сопряжённых корней
р1,2= α ± jω – свободная составляющая

В таких выражениях А1, А2, …Аn, А, φ – постоянные интегрирования.

6) Для расчёта операторным методом предлагается следующий порядок расчёта:
- изображается операторная схема замещения заданной электрической цепи в режиме после коммутации. Значение iL (0+) и uC (0+) взяты из предыдущего расчёта;
- к операторной схеме применяется любой из известных методов расчёта сложной резистивной цепи (метод, основанный на законах Кирхгоффа, метод контурных токов или метод узловых потенциалов) и определяется изображение по Лапласу искомой величины (I (p) или U(р));
- к полученному выражения применяется теорема разложения и получается зависимость от времени реакции цепи i(t) или u(t).

СХЕМЫ ЦЕПИ.



Рис. П.1.

Рис. П.2.


Рис. П.3.

Рис. П.4.


Рис. П.5.

Рис. П.6.

Рис. П.7.

Рис. П.8.

Рис. П.9.

Рис. П.10.
Таблица 1 Таблица параметров цепи и искомой реакции
Номер варианта R1
Ом R2
Ом L
мГн С
мкФ Искомая реакция цепи
1 2 3 4 5 6
1. 1 14 15 340

2. 15 2 14 360 iL
3. 3 16 18 350

4. 17 4 18 370 uС
5. 5 11 20 390 iL
6. 12 13 22 380

7. 7 13 24 400 uС
8. 20 8 28 420 iL
9. 9 18 28 410

10. 19 10 30 430 iL
11. 2 9 11 360

12. 1 4 13 340 uС
13. 6 3 15 370 iL
14. 5 8 17 350

15. 10 7 19 380 uС
16. 8 3 21 390 iL
17. 5 6 23 420

18. 4 7 25 400 uС
19. 7 2 29 430

20. 9 10 27 410 uС
1 2 3 4 5 6
21. 10 4 11 410 iL
22. 9 6 12 430

23. 8 8 13 400

24. 7 10 14 420 iL
25. 8 2 15 390

26. 5 1 16 380 uС
27. 4 3 17 350 iL
28. 3 5 18 370

29. 2 7 19 340 uС
30. 1 9 20 360

Примеры расчета переходных процессов в электрических цепях классическим и операторным методами.

ПРИМЕР 1
Дано:
E =10В;
R1=60 Ом;
R2=15 Ом;
RK=5 Ом;
R i =10 Ом;
L=1 мГн;
С=10 мкФ

Найти:
iL

Классический метод расчета

1) Система уравнений по закону Кирхгофа для схемы цепи после коммутации:

2) Независимые начальные условия, т.е.
uC(0+) и iL(0+)

Для получения этих значений воспользуемся первым и вторым законами коммутации:

iL(0-) =iL(0) = iL(0+) и uC(0-) =uC(0) =uC(0+)

Изобразим схему цепи до коммутации:

В этой цепи отсутствуют источники, следовательно:
iL(0-)=0 и uC(0-)=0
Тогда:
uC(0+)=0
iL(0+) =0
3) Расчет принужденного режима.
Принужденный (установившийся) режим при постоянном источнике будет соответствовать схеме:



iLпр= 0,111 А.

4) Определение корней характеристического уравнения.
Для определения корней изобразим схему:

Эквивалентное сопротивление относительно точек разрыва:

Приравняем его к нулю:






Подставим числовые значения:
10-5.10-3(10+15).p2+(10.10-5.(60+5)+15.10-5.(60+5)+10-3).p+60+15+10+5=0

25.10-8p2+17,25.10-3.p+90=0

p2+6,9.104.p+3,6.108=0

Тогда:

1/с
1/с

Корни вещественные и различные, следовательно, переходной процесс будет апериодическим.

Вид свободной составляющей:


Полный ток в индуктивности:


5) Определение постоянных интегрирования А1 и А2 :
Первое уравнение для определения А1 и А2 получим, используя значения п.2.

Выразим:
iL(0+) = iL(0) =0,111+ А1 + А2

Учтем независимые начальные условия:
А1 + А2+0,111=0 (1)

Для получения второго уравнения запишем систему уравнений п.1 для момента времени t(0+):


Подставим в нее независимые начальные условия и из второго уравнения системы следует:
т.е.
(*)

Теперь продифференцируем выражение тока iL, полученное в п.5:


В момент времени t=0+ :


Учтем полученное выше равенство (*) и получим второе уравнение:
(2)

Решаем систему:


Отсюда:
А1 = -0,122;
А2 = 0,011.

И окончательно получим:
, А.

ПРИМЕР 2.

Дано
е(t) = E = 26 В;
R1 = 2 Ом;
R1 = 9 Ом;
L = 11 мГн;
С = 360 мкФ.

Найти:


Классический метод решения

1) Система уравнений по законам Кирхгофа.



Сначала определяем ток .
2) Независимые начальные уравнения.
uc(0-) = uc(0) = uc(0+);
ic(0-) = ic(0) = ic(0+).

До коммутации.
uc(0-) = 0 и ic(0-) = 0, следовательно,
uc(0) = uc(0+) = 0;
i(0) = i(0+) = 0.

3) Принуждённый режим.
В принуждённом режиме схема имеет вид:



4) Определение корней характеристического уравнения и вида свободной составляющей тока.

Для схемы

Найдём z (р).


получим уравнение:


Преобразуем его:
R1R2C•p + R2 + R1CLp2 + pL + R1 = 0

R1CLp2 + (R1R2C + L)p + (R1 + R2) = 0

Подставляем числовые значения:
2•360•10-6•11•10-3р2 + (2•9•360•10-6 + 11•10-3)p + (2 + 9) = 0.

Получаем:
7,92•10-6р2 + 17,48•10-3р + 11 = 0.

или:
р2 + 2,21•103р + 1,39•106 = 0.

Решаем его:
Д = (2,21•103)2 - 4•1,39•106 = -0,68•106.

1/с.

Поскольку корни характеристического уравнения комплексно – сопряжённые, то свободная составляющая тока имеет вид:
.

Процесс носит колебательный характер.
5) Полный ток:
, А.

6) Определение постоянных интегрирования А и φ.
Первое уравнение для расчёта А и φ получаем из условия i(0) = 0, т.е.

2,36 + А•Sin φ=0. (1)
Для получения второго уравнения запишем систему уравнений по закону Кирхгофа (п.1) для момента t = 0+:



Учтём независимые начальные условия (п.2) и получим:
т.е .

Теперь продифференцируем выражение полного тока (п. 5):


Запишем его для t = 0+:

и приравняем к ранее рассчитанному значению:
-1105 А•Sin φ+410А•Сosφ = 2,36•103 (2)

Получим второе уравнение для расчёта постоянных интегрирования.
Решаем систему:
А•Sinφ = - 2,36;
-1105А•Sinφ + 410 А•Cosφ = 2,36•103



2607,8 – 967,6 сtgφ = 2360.
ctgφ = 0,257.
φ = 75,36о или φ = 1,32 рад.

тогда ток будет равен
i = 2,36 – 2,44 е-1105t Sin(410t + 1,32), А.
6) По условию задачи требуется найти напряжение

=>
=> 21,24 – 21,95е-1105t Sin (410t + 1,32) В

или
= 21,24 – 21,95е-1105t Sin (410t + 75,63о), В

Операторный метод решения.

1) Изобразим операторную схему замещения для режима после коммутации:

Запишем для неё систему уравнений по законам Кирхгофа в операторной форме:


2) Решаем её относительно тока I(р).



Из третьего уравнения:

Подставляем в первое уравнение:

Получим:


Подставляем во второе уравнение:


Преобразуем его и получим:


Учтём независимые начальные условия, которые были рассчитаны в первой части (классический метод).
i(0+) = 0 и uc(0+) = 0.

Тогда:


По условию задачи требуется определить , т.е. .

Это напряжение равно:
.



Подставим числовые значения:


3) По полученному изображению найдём оригинал .

Применим теорему разложения.
Перепишем в виде:

Найдём корни уравнения : F3(p) = 0, т.е.
7,92•10-6p2 + 17,48•10-3p + 11 = 0.
Получаем:
p1,2 = (-1105 ± j410). 1/c.



F1(0) = 234.
F3(0) = 11.

По теореме разложения:


Ответ:


Ответ практически совпадает с результатом расчёта классическим методом.

ПРИМЕР 3

Дано:
I = 2 A;
R1 = 80 Ом;
R2 = 220 Ом;
L = 1 Гн;
С = 100 мкФ
Найти:
i1(t)

Классический метод расчета.

1) Система уравнений по законам Кирхгофа для схемы цепи после коммутации:

Сначала определим uс.

2) Независимые начальные условия.
uc(0+) и i2(0+).
До коммутации источник тока был замкнут и токи в параллельные ветви не поступали.

До коммутации
uc(0-) = 0 и i2(0-) = 0.
Согласно законам коммутации:
uc(0-) = uc(0+) = 0;
i2(0-) = i2(0+) = 0.

3) Расчет принужденного режима.
Принужденный (установившийся) режим при постоянном источнике будет соответствовать схеме:


i1пр = 0.
i2пр = i1пр = I.
.


4) Определение корней характеристического уравнения.
Для определения корней изобразим схему:

Эквивалентное сопротивление относительно точек разрыва:

Приравниваем его к нулю:

Решаем:


Подставим числовые значения:
100•10-6•1р2+(80+220) •100•10-6+1=0.

10-4р2+3•10-2р+1=0.

р1,2=-150± .

р1=-261,8 1/с; р2=-38,2 1/с.

Корни характеристического уравнения вещественные и различные, следовательно, переходный процесс будет апериодическим.

Свободная составляющая напряжения uc cв будет иметь вид:
.

5) Полное напряжение:
.

6) Определение постоянных интегрирования А1 и А2.
Первое уравнение для определения А1 и А2 получаем, используя значения п.2. Для этого выразим:

Учтем независимые начальные условия:
440+А1+А2 = 0. (1)
Для получения второго уравнения запишем систему уравнений п.1 в момент времени t = 0+:

Подставим в неё независимые начальные условия:

Отсюда:

Теперь продифференцируем выражение uc, полученное в п.5:

Выразим его для t = 0+:

Учтем, что и получим второе уравнение для расчета А1 и А2:
-261,8А1-38,2А2 = 20000.
Решаем систему уравнений:

Получаем:
А1 = -14,27;
А2 = -425,72.
Для напряжения uc получим окончательно:
.

7) По условию требуется определить ток i1.
Воспользуемся последним уравнением системы из п.1.


Ответ:

Операторный метод расчета.

1) Изобразим операторную схему замещения цепи для режима после коммутации:

Запишем для неё систему уравнений по законам Кирхгофа в операторной форме:

2) Решаем её относительно I1(p).




Учтем независимые начальные условия, которые были рассчитаны в первой части примера (классический метод):

Тогда:


Подставим числовые значения:


3) По полученному изображению I1(p) найдем оригинал функции i1(t).

Применим теорему разложения:

Найдем корни уравнения:
F2(p)=0.




По теореме разложения:


Ответ: , А.

Результаты расчетов классическим и операторным методом практически совпадают.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М., 2008
2. Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей. – М. 2006
3. Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин Основы теории цепей: - М., 2008.
4. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с.
5. Лоторейчук Е.А. Теоретические основы электротехники – М. ИД «Форум-Инфра-М», 2009